Desy Putri Sari

Rabu, 05 Februari 2014

Lirik Lagu Nusantaraku_Jamal Mirdad

Tiada lagi negeri seindah persada Nusantara
Hutan rimba menghijau
Tempat bersemayam burung margasatwa
Gunung api yang tinggi megah
Menambah semarak persadaku
Lembah ngarai dan sungai-sungai
Mengukir keindahan abadi
Tanah pusaka, akupun dilahirkan disana

Penduduknya gagah tampan
Cantik molek tiada bandingnya
Terkenal manis budi bahasa dan lemah lembut perangainya
Mereka saling menghormati
Saling menghargai hak azasi
Mereka bernaung di bawah pusaka Garuda Pancasila
Dan sang saka Merah Putih lambang Indonesia

Jagalah kelestarian sejarah budaya
Semua rahmat Tuhan Yang Maha Esa
Mari bersama-sama menjaga lingkungan hidup ini
Hutan dan rimba, burung margasatwa sebagainya

Minggu, 26 Januari 2014

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Hubungan fungsi trigonometri

Fungsi dasar:

$\sin A = \frac{a}{c}\,$

$\cos A = \frac{b}{c}\,$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\ = \frac{a}{b}\,$

$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}\ = \frac{b}{a}\,$

$\sec A = \frac{1}{\cos A}\ = \frac{c}{b}\,$

$\csc A = \frac{1}{\sin A}\ = \frac{c}{a}\,$

Identitas trigonometri

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,$

$1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \,$

Penjumlahan

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

$2 \sin A \times \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B),$

$2 \cos A \times \sin B = \sin (A + B) - \sin (A - B),$

$2 \cos A \times \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B),$

$2 \sin A \times \sin B = - \cos (A + B) + \cos (A - B),$

FPB dan KPK

CARA MENCARI KPK DAN FPB

KPK adalah singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil.
Sedangkan FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar.

1. Dengan Pohon Faktor

Cara mencari KPK

Caranya anda bisa menggunakan cara menuliskan kelipatannya satu per satu. Contoh:

KPK dari 12 dan 15 adalah:

Kelipatan 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ...
Kelipatan 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...

Kelipatan dari 12 dan 15 yang sama diatas adalah 60, 120, dan seterusnya. Karena kita mencari yang terkecil, maka KPK dari 12 dan 15 adalah 60.

Apabila angka yang akan dicari KPK-nya besar, maka cara diatas sulit dipakai. Ada cara yang lebih mudah lagi dibandingkan cara diatas. Yaitu dengan cara menggunakan faktorisasi prima.

Waduh... kalau ada yang lebih mudah, kenapa pake cara diatas?

Nah, caranya begini.

1. Bagilah dengan bilangan prima(2,3,5,dst) sampai hasilnya merupakan bilangan prima.
Misal 60 dibagi 2, hasilnya 30 dibagi 2 hasilnya 15, karena 15 tidak bisa dibagi 2 , maka dibagi 3 hasilnya 5. Karena 5 merupakan bilangan prima berarti sudah selesai.
Penjelasan di gambar bawah:

2. Nah, lalu kumpulkan semua bilangan prima. Yaitu 2, 2, 3, dan 5. apabila ada bilangan yang sama, jadikan dalam bentuk pangkat. Ada 2 buah angka 2 (2² ) .

Jadi, faktorisasi prima dari 60 adalah = 2² x 3 x 5.

3. Bila yang dicari KPK-nya, kalikan semua bilangan, lalu apabila ada bilangan yang sama, cari yang pangkatnya lebih banyak.

Cara mencari FPB

Nah, cara mencari FPB, salah satunya dengan cara menyebutkan satu-persatu faktornya dan cari faktor yang sama dan yang paling besar.

Misal:

Faktor 15: 1, 3, 5, 15
Faktor 25: 1, 5, 25

FPB 15 dan 25: 5

Sebenarnya ada cara lain.
Yaitu menggunakan faktorisasi prima. Caranya sama dengan langkah di atas (Langkah 1 dan 2) ketika langkah ketiga:
Kalikan faktor prima yang sama saja dan ambil yang pangkat yang paling kecil.

Contoh: FPB 60 dan 36.
60 = 2² x 3 x 5
36 = 2² x 3²

Maka FPB 60 dan 36 adalah angka 2 dan 3 saja yang sama angka 5 hanya dimiliki oleh faktor 60 saja,untuk angka 3 diambil yang pangkatnya paling kecil yaitu pangkat 1 sehingga FPB = 2² x 3 = 12

sumber : http://catatan-ngajar.blogspot.com/2012/09/cara-mencari-kpk-dan-fpb.html

Pembuktian rumus phytagoras

Pembuktian Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras berbunyi pada suatu segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Secara umum, jika segitiga ABC siku-siku di C maka teorema Pythagoras dapat dinyatakan $AB^2 = AC^2 + BC^2$ .
Teorema Pythagoras ini adalah teorema yang sangat terkenal. Teorema ini akan sering digunakan dalam menghitung luas bangun datar. Selain digunakan dalam perhitungan pada bangun datar, perhitungan pada dimensi 3 atau yang lain juga sering menggunakan teorema Pythagoras. Banyak buku-buku menuliskan teorema ini sebagai $c^2 = a^2 + b^2$ . Dengan c adalah sisi miring.
Bukti dari teorema ini sangat bermacam-macam. Sangat banyak cara untuk membuktikan teorema Pythagoras ini. Di sini akan diberikan beberapa bukti teorema Pythagoras. Dari bukti yang sangat mendasar sampai bukti yang cukup rumit. Kebanyakan bukti teorema Pythagoras adalah pengembangan dari bukti-bukti inti (bukti-bukti dasar).

Bukti 1

Disediakan 4 buah segitiga siku-siku. Perhatikan gambar di atas. 4 segitiga di atas adalah segitiga yang sama. Mempunyai sisi-sisi a, b dan c. dan sisi c merupakan sisi miring dari segitiga tersebut. Ketiga segitiga disampingnya adalah hasil rotasi 90, 180 dan 270 derajat dari segitiga pertama.
Luas masing-masing segitiga yaitu $\frac{ab}{2}$ . Sehingga luas 4 segitiga tersebut adalah $2ab$ .
Segitiga-segitiga tersebut kita atur sedemikian sehingga membentung persegi dengan sisi c seperti gambar berikut.

Perhatikan gambar hasil susunan 4 segitiga tersebut. gambar tersebut membentuk sebuah persegi dengan sisi c. dan didalamnya ada persegi kecil. Panjang sisi persegi kecil tersebut adalah $(b-a)$ .
Secara langsung kita dapat menentukan luas persegi besar tersebut, yaitu $c^2$ . Dan secara tidak langsung, luas persegi besar dengan sisi c tersebut adalah sama dengan luas 4 segitiga ditambah luas persegi kecil yang mempunyai sisi $(b-a)$ . Sehingga diperoleh,

$c^2 = 2ab + (b-a)^2$
$c^2 = 2ab + b^2-2ab + a^2$
$c^2 = b^2 + a^2$

Bukti 2

Perhatikan gambar. Gambar tersebut adalah gambar 2 persegi. Persegi yang besar adalah sebuah persegi yang mempunyai panjang sisi a, dan persegi kecil mempunyai panjang sisi yaitu b.
Luas persegi yang besar tentunya adalah $a^2$ . Dan luas persegi kecil adalah $b^2$ . Sehingga luas bangun diatas adalah $b^2 + a^2$

Kedua persegi tersebut kita gabungkan. Dan kita buat garis sedemikian sehingga seperti pada gambar. Sisi c menjadi sisi miring dari segitiga tersebut. kemudian kita potong segitiga-segitiga tersebut. dan kita pindahkan ke bagian atas dan samping kanan seperti pada gambar berikut.

Luas persegi dengan sisi c tersebut tentunya adalah $c^2$ . Karena 2 persegi pada awal tadi adalah sama dengan 1 persegi besar dengan sisi c diatas, maka tentunya luas 2 persegi pertama sama dengan luas persegi besar dengan sisi c tersebut.
sehingga, $c^2 = b^2 + a^2$


Bukti 3

Gambar tersebut adalah gambar sebuah trapesium yang dibentuk dari 3 segitiga. Luas trapesium tersebut adalah $\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$ . dicari menggunakan rumus luas trapesium. Yaitu setengah dikalikan dengan jumlah sisi yang sejajar dikali tinggi trapesium. Mencari luas bangun datar diatas dapat juga menggunakan jumlah luas segitiga (perhatikan gambar). yaitu

$\frac{1}{2}ab+ \frac{1}{2}ab+ \frac{1}{2}c^2$ .

Luas yang dihitung adalah tetap. Yaitu bentuk trapezium tersebut. sehingga haruslah kedua luas yang dicari dengan langkah yang berbeda itu harus sama. Diperoleh,

$\frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
$\frac{1}{2} (a^2+ 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2$
$\frac{1}{2}a^2+ ab + \frac{1}{2}b^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$

sumber : http://cara-sumberilmu.blogspot.com/2012/07/pembuktian-teorema-pythagoras.html

$a^2 + b^2 = c^2$

pembuktian rumus volume limas

Artikel kali ini akan membahas seputar limas dan khususnya volumenya (beserta pembuktiannya).

Limas adalah salah satu bangun ruang yang sering kita jumpai di kehidupan sehari-hari, seperti pada atap rumah kita, bangunan piramida, dan lain-lain. Bentuk limas juga beragam, ada liamas segitiga, limas segiempat, limas segilima, limas segienam, dsb.

Jumlah sisi limas juga beragam, bergantung pada bentuk limasnya, apakah segitiga, segiempat, segilima, atau segienam. Tetapi yang pasti cara untuk mencari jumlah sisi limas ini adalah

dimana n adalah jumlah sisi alas.

Nah, sekarang kita menginjak ke bahasan utama kita, yakni cara mencari volume limas beserta pembuktiannya.

Pada gambar diatas, terdapat 6 limas segiempat yang kongruen (ukuran sama dan sebangun), yakni limas T.ABCD, T.EFGH, T.ABFE, T.CDHG, T.ADHE, dan limas T.BCFG.

Volume limas

Tidak percaya? Ini dia pembuktiannya.

Jika panjang EA (rusuk kubus) adalah a, maka panjang A'B' adalah 1/2 a atau setengah panjang rusuk kubus. Sehingga volume kubus = a³ (a pangkat 3).

Menentukan volume limas:

Mungkin anda bertanya-tanya mengapa 1/2 a dapat berubah menjadi tinggi limas. Coba lihat gambar kubus ABCD.EFGH diatas, A'B' adalah tinggi limas = 1/2 AE yang merupakan rusuk kubus. Tinggi limas itu adalah 1/2 rusuk kubus.

sumber : http://cah-blitar.blogspot.com/2013/04/volume-limas-dan-pembuktiannya.html